伴随矩阵如何求 详解伴随矩阵的求法

伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与矩阵的逆密切相关。在实际应用中，伴随矩阵常常被用来求解线性方程组的解以及计算行列式和矩阵的逆等。那么，伴随矩阵如何求呢？下面详细讲解伴随矩阵的求法。

一、伴随矩阵的定义

伴随矩阵，也称为伴随矩阵、伴随矩阵、伴随矩阵、合伴随矩阵等，是一个与原矩阵A有关的n阶方阵。伴随矩阵的定义如下：

设A为一个n阶方阵，A的伴随矩阵记作adj(A)，是A的代数余子式矩阵的转置矩阵。

其中，A的代数余子式矩阵的元素aij*表示A中去掉第i行和第j列后的(n-1)阶子阵的行列式乘以(-1)^(i+j)。

二、伴随矩阵的求法

1. 求出A的代数余子式矩阵

首先，我们需要求出矩阵A的代数余子式矩阵。这个过程比较简单，只需要按照以下步骤操作：

（1）选择A的任意一个元素aij；

（2）去掉A的第i行和第j列，得到一个(n-1)阶子阵；

（3）计算这个子阵的行列式det(Aij)，乘以(-1)^(i+j)，得到aij*。

按照这个方法，我们可以得到A的所有代数余子式矩阵。

2. 求出A的伴随矩阵

得到A的代数余子式矩阵后，我们就可以求出A的伴随矩阵了。具体方法如下：

（1）将A的代数余子式矩阵的每个元素转置得到一个新的矩阵B；

（2）将矩阵B除以A的行列式det(A)，得到伴随矩阵adj(A)。

其中，A的行列式det(A)可以用余子式展开法求得。

三、伴随矩阵的应用

1. 求解线性方程组的解

设A为一个n阶方阵，b为n维列向量，线性方程组Ax=b的解为：

x = A^(-1)b

其中，A^(-1)为A的逆矩阵。如果A不可逆，那么线性方程组就无解或有无穷多解。但是，我们可以用伴随矩阵来求解线性方程组的解。具体方法如下：

（1）计算A的伴随矩阵adj(A)；

（2）如果det(A)≠0，则方程组有唯一解x=adj(A)b/det(A)；

（3）如果det(A)=0，则方程组无解或有无穷多解。

2. 计算行列式

矩阵的行列式是一个非常重要的概念，它可以用来判断矩阵的性质。对于一个n阶方阵A，它的行列式可以用伴随矩阵来计算，具体方法如下：

det(A) = a1*adj(A)1 + a2*adj(A)2 + … + an*adj(A)n

其中，a1,a2,…,an为A的第一列元素，adj(A)1,adj(A)2,…,adj(A)n为A的伴随矩阵的第一行到第n行。

3. 计算矩阵的逆

如果一个n阶方阵A可逆，那么它的逆矩阵A^(-1)可以用伴随矩阵来计算，具体方法如下：

A^(-1) = adj(A)/det(A)

其中，det(A)为A的行列式。

四、总结

伴随矩阵是一个非常重要的概念，它与矩阵的逆密切相关。通过求解伴随矩阵，我们可以解决线性方程组、计算矩阵的行列式和逆矩阵等问题。在实际应用中，我们需要掌握伴随矩阵的求法以及应用技巧，以便更好地解决实际问题。